Идеи дифференциального и интегрального исчисления восходят к глубокой древности и связаны с наиболее фундаментальными математическими концепциями. Сколь-либо детальное изложение истории становления представлений о математических объектах, о процессах вычисления и измерения, определяющих нынешние взгляды на инфинитезимали, требует специальных сочинений, выходящих за рамки наших возможностей и намерений. Ситуация существенно осложнена тем, что математическая история подвержена широко известным негативным процессам, возникающим при постоянных попытках апологетизации тех или иных современных воззрений. Формирование аппарата математического анализа, в частности, далеко не всегда излагается достаточно полно и бесстрастно. Односторонние взгляды на сущность дифференциала и интеграла, гипертрофирование роли понятия предела, предание анафеме актуальных бесконечно больших и бесконечно малых чисел получили в течение пятидесяти лет двадцатого века столь широкое распространение, что не позволяют игнорировать их существование. Стало трюизмом воззрение, что «сами основания анализа были долго окружены таинственностью вследствие нежелания признать за понятием предела исключительного права быть источником новых методов» Между тем, как справедливо отметил Л. С. Понтрягин: «Исторически интегральное и дифференциальное исчисление были уже хорошо развитыми областями математики до того, как появилась теория пределов. Последняя возникла как некоторая надстройка над существовавшей уже теорией. Многие физики считают, что так называемое строгое определение производных и интегралов вовсе не нужно для хорошего понимания дифференциального и интегрального исчисления. Я разделяю их точку зрения» В связи с изложенным мы сочли необходимым в доступной нам краткой форме ознакомить читателя с некоторыми поворотными моментами в истории анализа и с положениями, высказанными классиками в процессе формирования современных взглядов. Отбор соответствующих фрагментов с неизбежностью субъективен. Надеемся, что тем не менее он достаточен для формирования критического отношения к односторонним искаженным картинам становления инфинитезимальных методов. Далее, уважаемый читатель, углубимся еще на один уровень в историю математики и подойдем, таким образом, к истокам и математического анализа и наших проблем нестандартного анализа. Итак первым на нашем пути будет Готфрид Вильгем Лейбниц.

2.1 ЛЕЙБНИЦ И "ДРЕВНЯЯ ИСТОРИЯ” НЕСТАНДАРТНОГО АНАЛИЗА Возраст нестандартного анализа колеблется (в зависимости от точки зрения) от двух с половиной десятков до трех сотен лет. Два с половиной десятка получится, если считать, что нестандартный анализ зародился осенью 1960 г., когда его основатель, Абрахам Робинсон, сделал доклад на одном нз семинаров Принстонского университета о возможности применения методов математической логики к обоснованию математического анализа. Триста лет получится, если считать началом нестандартного анлиза появление символов бесконечно малых dx и dy в трактате Лейбница "Новый метод”. Трудно сказать с уверенностью, насколько в действительности Лейбниц был близок к идеям нестандартного анализа. Как пишет сам Робинсон "история предмета обычно пишется в свете его позднейшего развития. Уже более чем полвека все обзоры истории дифференциального и интегрального исчислений основывались на уверенности в том, что понятие бесконечно малых и бесконечно больших, если даже и непротиворечиво, бесполезно для развития анализа. В результате в работах этого периода заметно различие между строгостью, с которой рассматриваются идеи Лейбница и его последователей, и снисходительностью, проявляемой к провозвестникам идеи предела”. Характерно, например, следующее высказывание Анри Лебега от 3 декабря 1926 г. "Бесконечно малые были когда-то туманными сущностями, встречавшимися в неясных и неточных формулировках. Все разъяснилось впоследствии благо-даря понятию предела”. Считая, что идеи Лейбница и идеи сторонников понятия предельного перехода мерились двойным стандартом при несправедливом склонении весов правосудия в пользу предела, Робинсон предлагает во многом пересмотреть общую картину возникновения и развития математического анализа от Ньютона и Лейбница до Коши и Вейерштрасса. Этот пересмотр приводит к более полному признанию заслуг Лейбница, и сам Лейбниц перемещается, таким образом, из разряда гениев третьего класса в разряд гениев второго класса (классификация, предложенная Станиславом Лемом: в этой классификации гении третьего класса получают прижизненное, а гении более высокого класса – лишь посмертное признание).
Изложим историко-математические взгляды Робинсона. Робинсон резюмирует стандартный взгляд на историю развития математического анализа в следующих словах: "После длительного периода, в течение которого были определены площади, объемы и касательные в различных частных случаях, во второй половине семнадцатого столетия Ньютоном и (несколько позже, но независимо) Лейбницем была построена общая теория дифференцирования и интегрирования. Касаясь обоснования введенных им понятий, Ньютон обращался то к бесконечно малым, то к пределам, то непосредственно к физической интуиции; его непосредственные последователи предпочитали последнее. С другой стороны, Лейбниц и его последователи развивали теорию исходя из дифференциалов первого и следующих порядков. Технические удобства обозначений, использовавших дифференциалы, привели к быстрому развитию Анализа и его приложений в Европе, где они были приняты. Однако внутренние противоречия этой концепции привели к осознанию того, что необходимы какие-то другие основания. Лагранж считал, что ему удалось найти подходящий путь, взяв за основу тейлоровское разложение функции. Но первое строгое обоснование математического анализа было дано лишь Коши. Основой теории Коши было понятие предела, которое, будучи впервые выдвинуто Ньютоном, впоследствии поддерживалось Даламбером. Более формальное изложение методов Коши было дано Вейерштрассом (которого в некоторой степени предвосхитил Больцано). После создания теория пределов использование бесконечно больших и бесконечно малых превратилось в оборот речи, применяемый в выражениях типа "... стремится к бесконечности”. Дальнейшее развитие теории неархимедовых полей было целиком предоставлено алгебре.” Этот стандартный вгляд, но мнению Робинсона, в некоторых отношениях "должен быть дополнен или даже изменен”. В доказательсто этого Робинсон приводит большое количество выдержек из сочинений Лейбница и других упомянутых выше авторов. Как считает Робинсон, "... отношение Лейбница к бесконечно большим и бесконечно малым величинам в Анализе в основном оставалось неизменным в течение двух последних десятилетий его жизни. Он полностью одобрял их введение, но считал их "идеальными элементами, подобными мнимым числа. Эти идеальные элементы подчиняются тем же законам, что и обычные числа. Тем не менее они представляют собой не более чем удобные фикции, необходимые для облегчения рассуждений и открытий. Всегда, при желании, можно исключить их использование и вернуться к стилю античных математиков, рассуждая в терминах величин, достаточно больших (или малых) для того, чтобы ошибка была меньше любой наперед заданной. Все это отчетливо и неоднократно утверждается в сочинениях Лейбница”. Для большей наглядности приведем теперь некоторые из высказываний Лейбница, цитируемых Робинсоном. 

"... Нужно воспринимать бесконечное подобно тому, как это делается в оптике, когда солнечные лучи считаются приходящими из бесконечно удаленной точки и поэтому параллельными... И когда имеются различные порядки бесконечного или бесконечно малых, то понимаются они в том же смысле, в каком земной шар считается точкой по сравнению с расстоянием до неподвижных звезд, а шарик в наших руках — точкой по сравнению с радиусом земного шара, так что расстояние до неподвижных звезд является бесконечно бесконечным или бесконечностью бесконечности по отношению к диаметру шарика. Вместо бесконечно большого или бесконечно малого количества можно взять количество настолько большое или малое, насколько это нужно, чтобы ошибка не превышала заданной. Отличие от архимедовского стиля рассуждений лишь в выражениях, которые у нас более непосредственные и лучше приспособлены для искусства изобретать”.
"... Если кто-то не желает рассматривать бесконечно большие и малые в строго метафизическом смысле, как реально существующие, он можег пользоваться ими как «идеальными понятиями», которые сокращают рассуждения, подобно мнимым корням в обычном анализе... Таким же образом представляют более трех измерений...— все это для установления идей, способных сокращать рассуждения и основывающихся на реальностях. Не следует все же воображать, что наука о бесконечном унижается этим объяснением и сводится к фикциям, ибо постоянно остается, говоря языком схоластики, синкатегорематическая бесконечность. Например, остается верным, что 2 равно 1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32 и т. д., что есть бесконечный ряд, в котором содержатся сразу все дроби с числителем 1 и со знаменателями, образующими удваивающуюся геометрическую прогрессию, хотя здесь употребляют все время лишь обыкновенные числа и хотя не вводят никакой бесконечно малой дроби или дроби с бесконечным знаменателем... Правила конечного сохраняют силу в бесконечном, как если бы существовали атомы..., хотя они вовсе не существуют, ибо материя в действительности делима без конца и, наоборот, правила бесконечного сохраняют силу в конечном, как если бы имелись метафизические бесконечно малые, хотя в них и нет нужды и хотя деление материи никогда не приходит к бесконечно малым частицам. Это объясняется тем, что все управляется разумом и что иначе совсем не было бы ни науки, ни правила, а это не согласовалось бы с природой верховного начала”. (Это высказывание Лейбница можно при желании рассматривать как формулировку принципа переноса, что дает еще одно основание называть его также "принципом Лейбница”.) "... Несравнимыми величинами я называю такие, одна из которых никогда не сможет превзойти другую, на какое конечное число ее бы ни помножили, так же как это понимает Евклид...”. Приведем еще несколько цитат (на этот раз отсутствующих в монографии Робинсона). "...новый Анализ бесконечных рассматривает не линии и не числа, но величины вообще, как это делает обыкновенная Алгебра. Этот Анализ содержит новый алгоритм, т.е. новый способ складывать, вычитать, умножать, делить, извлекать корни, соответствующий несравнимым величинам, т.е. тем, которые бесконечно велики или бесконечно малы в сравнении с другими...” Методы Лейбница господствовали в Европе в течение более чем 50 лет. Однако во второй половине XVIII столетия начались поиски альтернативных путей построения анализа. Лагранж предлагал рассматривать разложения функций в степенные ряды, предполагая, что любая или почти любая функция может быть разложена в такой ряд. Даламбер предлагал понятие предела в качестве исходного для построения математического анализа. Он писал: "Говорят, что одна величина является пределом другой, если вторая может приблизиться к первой ближе, чем на любую заданную величину... Теория пределов является основанием подлинной Метафизики дифференциального исчисления... В дифференциальном исчислении речь идет не о бесконечно малых величинах, как это обычно утверждают; речь идет лишь о переделах конечных величин... Термином "бесконечно малая» пользуются лишь как сокращением …» Эти высказывания Даламбера выглядят как изложение современной точки зрения на пределы. Можно было бы предположить, что с этого времени понятие бесконечно малых будет полностью устранено. Это, однако, не так. Коши, рассматриваемый обычно как основатель современного подхода к построению анализа, использует понятие бесконечно малой величины. Пытаясь объяснить в современных терминах, что Коши называет "величиной”, можно предположить, что величина — это функция с действительными значениями, определенная на упорядоченном множестве без наибольшего элемента. Коши, однако, отнюдь не сводит величины к функциям. Наоборот, он говорит о функции как о соотношении, связывающем две величины. В его изложении бесконечно малые и пределы фигурируют как равноправные компоненты обоснования анализа. На этом драматическом пути для анализа скрестили шпаги два великих. 2.2 Готфрид Вильгельм Лейбниц и Исаак Ньютон Дифференциальное и интегральное исчисление имеет давнее название «анализ бесконечно малых». Именно так был озаглавлен первый учебник математического анализа, вышедший в свет в 1696 г. Этот учебник был составлен Г. Лопиталем в результате контактов с И. Бернулли (старшим), одним из выдающихся последователей Г. В. Лейбница. Научное наследие, творчество и взаимоотношения основоположников математического анализа Г. В. Лейбница и И. Ньютона подвергнуты детальному, можно сказать, скрупулезному изучению. Стремление восстановить ход мысли гениальных людей, выявить пути, приведшие к открытию новых истин, оправдано и закономерно. Однако никогда не следует забывать имеющихся принципиальных различий между черновиками и набросками, частными письмами к коллегам и сочинениями, специально предназначенными для более широкого распространения. В этой связи необходимо прежде всего обратиться к «официальным» изложениям интересующих нас представлений Г. В. Лейбница и И. Ньютона о бесконечно малых. Первой опубликованной работой по дифференциальному исчислению является статья Г. В. Лейбница «Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные величины, и особый для этого род исчисления». Эта работа вышла в свет в лейпцигском журнале «Acta Eruditorum* триста лет назад в 1684 г. Лейбниц дает следующее определение дифференциала. Рассматривая кривую YY и отрезок касательной, проведенной в фиксированной точке кривой Y, отвечающей выбранной координате X на оси АХ, и обозначая D точку пересечения касательной с указанной осью, он пишет: «Назовем произвольно взятую прямую dx, а другой отрезок, относящийся к dx так, как y относится к XD, назовем dy или же разностью (differentia)... y...». К этому прилагается рисунок, существенные детали которого (с учетом письменных разъяснений Лейбница) воспроизводятся здесь (рис. 1).

Итак, по Лейбницу для функции X —› y(x) в точке х при произвольном dx мы имеем dy:= YX/XDdx. Иначе говоря, дифференциал определен как соответствующее линейное отображение, т.е. тем способом, над которым подпишется большинство теперешних специалистов. Г. В. Лейбниц — серьезный мыслитель, считавший, что «изобретение силлогистической формы есть одно из прекраснейших и даже важнейших открытий человеческого духа. Это своего рода универсальная математика, все значение которой еще недостаточно понято. Можно сказать, что в ней содержится искусство непогрешимости...» Безусловно понимая, что описание и обоснование изложенного им алгоритма дифференциального исчисления (так Г. В. Лейбниц называл правила дифференцирования) требует уточнения понятия касательной, он разъясняет: «...найти касательную — значит провести прямую, соединяющую две точки кривой, расстояние между которыми бесконечно мало, или же провести продолженную сторону бесконечноугольного многоугольника, который для нас равнозначен кривой». Иначе говоря, Г. В. Лейбниц базирует свое исчисление на апелляции к устройству кривых «в малом». На статут бесконечно малых в те времена имелись практически две точки зрения. В силу первой, по-видимому, более близкой Г. В. Лейбницу, бесконечно малое число мыслилось как меньшее любого «могущего быть заданным количества». Актуально существующие «неделимые» элементы, составляющие величины и фигуры — вот образы, сопутствующие приведенной концепции бесконечной малости. Для Г. В. Лейбница неоспоримо суждение о существовании «простых субстанций, входящих в состав сложных» — монад. «Эти то монады и суть истинные атомы природы, одним словом, элементы вещей» — говаривал он. Для другого родоначальника анализа И. Ньютона бесконечно малые были связаны с представлениями об исчезающих количествах. Неопределенные величины он рассматривал «не как состоящие из крайне малых частей, но как описываемые непрерывным движением», «...как возрастающие или убывающие в непрерывном движении, т.е. как притекающие или утекающие». Знаменитый «метод первых и последних отношений» в классическом трактате «Математические начала натуральной философии» (1687 г.) имеет следующую формулировку: «Количества, а также отношения количеств, которые в продолжение любого конечного времени постоянно стремятся к равенству и ранее конца этого времени приблизятся друг к другу ближе, нежели на любую заданную разность, будут напоследок равны» Проводя идеи, которые сейчас прочно ассоциируются с теорией пределов, И. Ньютон проявлял свойственную настоящим ученым проницательность, предусмотрительность и мудрость, оценивая конкурирующие воззрения. Он писал: «...построение анализа посредством конечных величин и исследование первых или последних отношений нарождающихся или исчезающих конечных величин согласно с геометрией древних, и я желал обнаружить, что в методе флюксий нет необходимости вводить в геометрию бесконечно малые фигуры. Можно, правда, провести анализ на каких угодно фигурах, и конечных и бесконечно малых, которые представляют себе подобными исчезающим, так же как и на фигурах, которые в методах неделимых обычно считаются бесконечно малыми, но только при этом следует действовать с должной осторожностью». Столь же гибких, глубоко диалектических взглядов придерживался Г. В. Лейбниц. В своем известном письме к П. Вариньону от 2 февраля 1702 г. подчеркивая, что «...нет нужды ставить математический анализ в зависимость от метафизических споров», он указывает на единство противоположных представлений об объектах нового аппарата: «...если какой-либо противник желает возражать против наших утверждений, то из нашего исчисления следует, что ошибка будет меньше, чем любая ошибка, какую он сможет указать, ибо в нашей власти взять несравнимо малое достаточно малым для этой цели, поскольку такую величину всегда можно взять сколь угодно малой. Быть может, Вы, сударь, это и имеете в виду, говоря о неисчерпаемом, и в этом, без сомнения, состоит строгое доказательство применяемого нами исчисления бесконечно малых... Также можно сказать, что бесконечные и бесконечно малые обоснованы так, что в геометрии и даже в природе все происходит, как если бы они представляли собой совершенные реальности. Об этом свидетельствует не только наш геометрический анализ трансцендентных, но еще мой закон непрерывности, в силу которого допустимо рассматривать покой как бесконечно малое движение (т. е. как равносильный роду своей противоположности), и совпадение — как бесконечно малое расстояние, и равенство — как последнее из неравенств и т. д.». Близкие положения высказывал Г. В. Лейбниц в следующем отрывке, выделенный конец которого часто цитируют в сочинениях по нестандартному анализу, следуя примеру А. Робинсона [455, с. 260- 261]: «...нет необходимости понимать здесь бесконечное в строгом смысле слова, но лишь в том смысле, в каком в оптике говорят, что солнечные лучи исходят из бесконечно удаленной точки и потому считаются параллельными. И когда имеются различные порядки бесконечного или бесконечно малых, то понимаются они в том же смысле, в каком земной шар считают точкой по сравнению с расстоянием до неподвижных звезд, а шарик в наших руках — точкой по сравнению с полудиаметром земного шара, так что расстояние от неподвижных звезд является бесконечно бесконечным или бесконечностью бесконечности по отношению к диаметру шарика. Дело в том, что вместо бесконечного или бесконечно малого берут настолько большие и настолько малые величины, насколько это нужно, чтобы ошибка оказалась менее данной ошибки и, таким образом, отличие от стиля Архимеда состоит лишь в выражениях, которые в нашем методе являются более прямыми и более пригодны для искусства изобретения» [144, с. 190].

2.3 Леонард Эйлер Восемнадцатое столетие в истории математического анализа по праву называют веком Л. Эйлера. Каждый, кто ознакомится с его сочинениями, будет потрясен виртуозной техникой, глубоким проникновением в суть дела. Можно вспомнить, что замечательный ученый-инженер А. Н. Крылов с восторгом видел в знаменитой формуле Эйлера: И ее следствии при х=? e^i?= — 1 символ единства всей математики, отмечая, что «в ней (— 1) — представляет арифметику, i — алгебру.?— геометрию и е — анализ». Для Л. Эйлера характерен многосторонний, как сейчас говорят «системный», подход к исследованию математических задач — он широко использует весь разработанный к тому времени аппарат. Существенно подчеркнуть постоянное, эффективное и эффектное применение инфинитезимальных концепций и, прежде всего, актуальных бесконечно больших и бесконечно малых чисел. Л. Эйлер достаточно подробно разъяснил методические основы своих представлений, названных «исчислением нулей». Имеется склонность искать (отличные от имеющихся) пятна на солнце и (аналогичные) слабости гениев. Долгие годы Л. Эйлеру инкриминировали «неверное» обращение с расходящимися рядами, пока не были поняты его взгляды. Сейчас кое-кто употребляет оборот «Эйлер в вопросе о расходящихся рядах стоял на вполне современной точке зрения...»Ряд называется сходящимся если все его частичные суммы сходятся к одной конкретной величине, в противном случае он – расходится. Ньютон и Лейбниц—первые математики, систематически пользовавшиеся бесконечными рядами, — не имели достаточных побуждений к употреблению расходящихся рядов (хотя Лейбниц изредка касался их). Такие побуждения стали умножаться с расширением анализа, и вскоре обнаружилось, что расходящиеся ряды полезны и что некритически выполняемые над ними действия часто приводят к важным результатам, справедливость которых может быть затем проверена независимым путем. (см. Г. Харди _РАСХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ). Правильнее обернуть эту фразу и сказать, что современные математики, наконец, доросли до идей Эйлера. Как станет видно из дальнейшего (см. 2.2, 2.3), мнение, что «...мы не сможем восторгаться тем способом, которым Эйлер обосновывает анализ, вводя нули различных порядков» столь же самонадеянно, как и суждение о том, что «гиганты науки», главным образом, Эйлер и Лагранж, дали неверное обоснование анализа». Эйлер, и это стоит признать безоговорочно и навсегда, владел анализом и ведал, что творил.

2.4 Дж. Беркли Идеи анализа в их общей форме оказали заметное воздействие на характер мировоззренческих представлений XVIII века. Отражением глубины проникновения понятий бесконечно больших и бесконечно малых количеств в культурную среду того времени служат, в частности, вышедшие в 1726 г. из-под пера Дж. Свифта «Путешествия Лемюэля Гулливера...» (Лилипутия и Бробдингнег) и знаменитый «Микромсгас 1752», написанный ярким, язвительным мыслителем Ф.-М. Аруэ — Вольтером. Интересно, что А. Робинсон к своему классическому сочинению [455] в качестве эпиграфа избрал начало следующей речи Микромегаса: «Теперь я вижу яснее, чем когда-либо, что ни о чем нельзя судить по его видимой величине. О боже, даровавший разум существам, столь ничтожных размеров! Бесконечно малое равно перед лицом твоим бесконечно большому; если только возможны существа, еще меньшие чем эти, то и они могут обладать разумом, превосходящим ум тех великолепных творений твоих, виденных мною на небе, одна ступня которых покрыла бы эту планету». Представляется серьезным то воздействие на развитие математического анализа, которое оказало выступление в 1734 г. крупного деятеля церкви и теолога, епископа Дж. Беркли с памфлетом «Аналитик, или Рассуждение, адресованное неверующему математику, где исследуется, являются ли предмет, принципы и заключения современного анализа более отчетливо познаваемыми и с очевидностью выводимыми, чем религиозные таинства и положения веры». Клерикальная направленность сочинений Дж. Беркли сочетается с афористичностью, тонкостью наблюдений и убийственной точностью выражений. «... Ошибка может породить истину, хотя не может породить науку»— вот лейтмотив его критики анализа. Вызов Беркли]: «У меня нет разногласий с вами относительно ваших выводов, они у меня есть только относительно вашей логики и метода. Как вы проводите доказательство? С какими предметами вы хорошо знакомы и ясно ли вы их себе Представляете? На основе каких принципов вы действуете, насколько они правильны и как вы их применяете?» — был адресован всему естествознанию. Сочинение Дж. Беркли, завершенное 67 острыми вопросами, оспаривающими научность методов анализа того времени, не могло быть оставлено без ответа наиболее передовыми представителями научной мысли XVIII века — энциклопедистами.

2.4 Ж. Д'Аламбер и Л. Карно Поворотный пункт в истории формирования основных понятий анализа связан с идеями и деятельностью Ж. Д'Аламбера. Один из организаторов и ведущих авторов бессмертного шедевра просветительской мысли «Энциклопедии или толкового словаря наук, искусств и ремесел» в статье «Дифференциал» заявил: «Ньютон никогда не считал дифференциальное исчисление исчислением бесконечно малых, а видел в нем метод первых и последних отношений» Д'Аламбер стал первым математиком, объявившим себя обладателем доказательства, что бесконечно малые «на самом деле не существуют ни в природе, ни в допущениях геометров» (из статьи «Бесконечно малое» 1759 г.). Позиция Ж. Д'Аламбера, отраженная «Энциклопедией...», в немалой степени способствовала оформлению в конце XVIII века представления о бесконечно малой как о величине, стремящейся к нулю. По-видимому, в этой связи следует упомянуть работу Л. Карно «Размышления о метафизике исчисления бесконечно малых», в которой отмечено «...понятие бесконечно малого количества не менее ясно, чем понятие предела, потому что оно есть не что иное, как разность этого предела и количества, последним значением которого он является». 2.5 Б. Больцано, О. Коши и К. Вейерштрасс XIX век стал веком обоснования анализа с помощью теории пределов. Выдающийся вклад в этот процесс внесли Б. Больцано, О. Коши и К. Вейерштрасс. Достижения названных ученых отражены в любом традиционном курсе дифференциального и интегрального исчисления. Новый канон строгости, выдвинутый Б. Больцано, данное О. Коши определение бесконечно малого количества как переменной с нулевым пределом, наконец.? — техника К. Вейерштрасса составляют неотъемлемую часть математических воззрений, став частью современной культуры. Стоит особо отметить что, давая словесную характеристику непрерывности, О. Коши и К. Вейерщтрасс прибегают к практически тождественным выражениям: «бесконечно малое приращение переменной порождает всегда бесконечно малое приращение самой функции» О. Коши; «бесконечно малым изменениям аргумента соответствуют бесконечно малые изменения функции» К. Вейерштрасс. Указанное совпадение подчеркивает достойную уважения потребность связать новые представления с позициями великих предшественников. Размышляя о значении пересмотра аналитических воззрений, происходившего в XIX веке, следует иметь в виду сделанное в этой связи важное наблюдение Ф. Севери: «Этот пересмотр, который приобрел в наши дни относительную завершенность, не имеет, однако, той определенной ценности, в которую верят многие ученые. В самом деле, строгость сама по себе есть функция совокупности знаний в каждый исторический период, соответствующий способу научной обработки истины».

2.6 Николай Николаевич Лузин Начало XX века в математике отмечено дальнейшим ростом недоверия к концепции актуальных бесконечных величин. Эта тенденция особенно усилилась в связи с переустройством математики на основе теоретико-множественной установки, завоевавшей себе в З0-е годы прочные ключевые позиции. Н. Н. Лузин в первом издании Большой Советской Энциклопедии в 1934 г. писал: «Что же касается постоянного бесконечно малого количества, отличного от нуля, то современный математический анализ, не отрицая формальной возможности определить идею постоянного бесконечно малого (например, как соответствующего отрезка "неархимедовой" геометрии), рассматривает эту идею как совершенно бесплодную, так как ввести такое бесконечно малое в исчисление оказывается невозможным» [150, с. 293-294]. В те годы в России известным событием стал выход в свет учебника М. Я. Выгодского «Основы исчисления бесконечно малых», вызвавший серьезную и острую критику. М. Я. Выгодский старался сохранить концепцию инфинитезималей, апеллируя к исторической практике. Он, в частности, отмечал: «Если бы дело шло только о создании логического аппарата, который работал бы сам по себе, то, устранив из рассмотрения бесконечно малые величины и изгнав дифференциалы из математики, можно было бы праздновать победу над теми затруднениями, которые доставляли столько хлопот математикам и философам в течение двух веков. Но исчисление бесконечно малых возникло из потребностей практики, и с течением времени его связь с естествознанием и техникой (а в позднейшее время и с социальными науками) все более и более укреплялась и становилась все более и более плодотворной. Между тем полное изгнание бесконечно малых величин сделало бы эту связь если не невозможной, то чрезвычайно затруднительной». Характеризуя учебник М. Я. Выгодского, Н. Н. Лузин в 40-е годы писал: «Этот курс внутренне цельный и освещенный большой идеей, которой он остается верным, не укладывается в рамки современного этапа математического анализа, длящегося 150 лет, и в настоящее время приходящего к своему завершению». На отношении Н. Н. Лузина к бесконечно малым стоит остановиться особо, как на важном свидетельстве того, обычно скрытого, драматизма, которым наполнена история каждой глубокой идеи, волнующей людей. Н. Н. Лузин отличался редкой способностью проникать в ядро самых изощренных математических проблем и, можно сказать, владел замечательным даром предвидения. Идея актуальных бесконечно малых при этом была чрезвычайно близка ему психологически. Он подчеркивал: «...мысль о них никогда не могла быть успешно изгнана из сознания. Имеются, очевидно, какие-то глубоко скрытые причины, еще до сих пор не выясненные полностью, которые заставляют наш ум быть расположенным всерьез считаться с ними». В другом месте с подлинной скорбью Н. Н. Лузин отмечал: «Когда ум начинает свое знакомство с анализом, словом, когда для него весна, он начинает именно с актуально малых, которые можно назвать "элементами" количества. Но постепенно, шаг за шагом, по мере накопления у него знаний, теорий, пресыщения к абстракции, усталости, ум начинает забывать свои первоначальные стремления, улыбаться их "ребячеству". Короче говоря, когда приходит осень ума, он дает себя убедить в единственности правильного обоснования при помощи пределов». Последнюю точку зрения Н. Н. Лузин энергично развивал в учебнике «Дифференциальное исчисление», указывая, что «для правильного понимания самой сути дела учащийся должен хорошо усвоить, что бесконечно малое по самому своему определению есть всегда переменная величина и что поэтому никакое постоянное число, как бы мало оно ни было, никогда не есть бесконечно малое. Учащийся должен остерегаться пользоваться сравнениями или уподоблениями вроде, например, следующего: "Один сантиметр есть величина бесконечно малая по сравнению с диаметром солнца". Эта фраза совершенно неправильна. Обе величины — и сантиметр и диаметр солнца — суть величины постоянные и, значит, конечные, только, разумеется, одна значительно меньше другой. Притом и сантиметр вовсе не представится маленькой величиной, если мы, например, сравним его с "толщиной волоса", а для движущегося микроба сантиметр явится пространством колоссальной величины. Чтобы избавиться от всяких рискованных сравнений и субъективных случайных уподоблений, учащийся твердо должен помнить, что никакая постоянная величина не является бесконечно малой, так же как никакое число, как бы мало оно ни было. Поэтому, в сущности говоря, было бы гораздо правильнее употреблять не термин "бесконечно малое", но термин "бесконечно умаляющееся" как более ярко выражающий идею переменности»

2.7 А. Робинсон Седьмое (посмертное) издание названного учебника Н. Н. Лузина увидело свет в том же 1961 г., в котором А. Робинсон опубликовал свой «Нестандартный анализ», содержащий современное обоснование метода актуальных бесконечно малых. А. Робинсон опирался на локальную теорему А. И. Мальцева, выделяя ее как результат «основополагающего значения для нашей теории» и прямо ссылаясь на работу А. И. Мальцева, относящуюся к 1936 г. Открытие А. Робинсона разъясняет идеи родоначальников дифференциального и интегрального исчисления, дает новое подтверждение Диалектического характера развития математики. 2.8 Никола Тесла Восприятие физики Теслы требует совершенно иного понимания математики, в сущности, до какой-то степени сакрального понимания в пифагорейском духе. Пифагор считал, что числа и предметы реально взаимосвязаны и в некоторых свойствах соответствуют друг другу из-за информационных, математических аспектов существования материи как одного из проявлений Божественного Логоса. Даже менее внимательный исследователь сразу заметит, что в трудах Теслы отсутствуют бесконечно малые величины.

Тесла был в состоянии создавать зрительные образы, конкурирующие с реально воспринимаемыми при помощи органов зрения. Он как бы изменял обычное направление нервного импульса на противоположное — от мозга к сетчатке, убирал внешний образ и заменял его эйдетическим. Тесла свои импульсы будто посылал "изнутри". Он называл это умственной лабораторией. И это было его главным и основным методом экспериментирования. Он обладал способностью переводить математические, абстрактные понятия во внутренне зримые образы, давать им геометрическую интерпретацию, а затем переводить их в физически реализуемую форму рабочих моделей для аппаратурного воплощения. В своём уме он "исправлял" и "подгонял" аппарат к работе. Когда же позднее такой аппарат изготовлялся из проволоки и другого материала, он всегда действовал. Как говорил Тесла, ни разу не случилось, чтобы подобное изобретение не соответствовало природе, то есть не срабатывало в качестве физического прототипа. Его метод по сравнению с другими великими научными пророчествами совершенно уникален.
Майкл Фарадей, например, как и Альберт Эйнштейн, в момент озарения испытывал кинестетическое предчувствие (давление и движение в области брюшины), причём с ним случалось нечто подобное психическому стрессу в момент возникновения идей.
Дмитрию Менделееву, как известно, снилась периодическая система элементов, причём в трёх измерениях, окрашенная яркими, почти огненными красками, как это бывает во всех вещих снах. Однако такое происходит очень редко, лишь с некоторыми людьми и только в определённые моменты. А Тесла пребывал в подобном состоянии всю свою жизнь, десятилетиями упражнялся, чтобы постоянно поддерживать в себе духовную и творческую активность. Такую способность он приобрёл после той тяжёлой и странной болезни, которую едва пережил в детстве. Многие годы спустя он упорно тренировался в контроле над своими нервными путями не только в психологическом, но и физиологическом смысле. "Я верю в одного Бога, не описанного в религиях", — говорил он. В сущности, это бог философский — Логос, бог пифагорейский, единовременный творец и бесконечного, и абстрактного, и иноматериального, и внепространственного космического закона. Тесла был человеком, основная философия и аксиоматика которого вообще не принадлежали современному миру. Его, скорее, можно отнести к эпохе до Сократа, античной философии. Не случайно, что он рождён на Балканском полуострове, в южной части которого возникла античная цивилизация. Речь идёт об одинаковом геомагнитном информационном поле, или алгоритме, общем для эволюции невральных структур Пифагора, Платона, Зенона и Теслы. 

Источник: http://www.vixri.ru/, Альтернативная наука


В Мой Мир




Обсудить на нашем форуме